初中数学 矩形、菱形、正方形 知识点 -足球竞猜
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初中数学 矩形、菱形、正方形 知识点 -足球竞猜

英才学习2年前 (2021-12-03)初中数学325
一、矩形、、正方形的性质

1.矩形的性质
①具有平行四边形的一切性质;
②矩形的四个都是直角;
③矩形的对角线相等;
④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质
①具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;
⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

3.正方形的性质
正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
①边:四边相等,对边平行;
②角:四个角都是直角;
③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;
④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。
例1 矩形abcd中,de⊥ac于e,且∠ade:∠edc=3:2,则∠bde的度数为  (   )

a.360        b.90       

c.270        d.180

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例2 如图,矩形abcd中,ae⊥bd于e,对角线ac与bd相交于点o,be:ed=1:3,ab=6cm,求ac的长。   

例3 如图, o是矩形abcd 对角线的交点, ae平分 ∠bad,∠aod=120° ,求∠aeo 的度数。

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例4 菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。

例5 如图,在正方形abcd中,g是bc上任意一点,连接ag,de⊥ag于e,bf∥de交ag于f,探究线段af、bf、ef三者之间的数量关系,并说明理由.

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二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定
①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角是直角的四边形是矩形;
④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
③四条边都相等四边形是菱形;
④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定
①菱形 矩形的一条特征;
②菱形 矩形的一条特征;
③平行四边形 一个直角 一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。
例1. 如图,在△abc中,ab=ac,点d是边bc的中点,过点a、d分别作bc与ab的平行线,并交于点e,连续ec、ad。
求证:四边形adce是矩形。
                 
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例2.如图,△abc中,∠c=90°,ad平分∠bac,ed⊥bc,df//ab. 

求证:ad与ef互相垂直平分。 
                      
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例3.已知如图,在△abc,∠acb=900,ad是角平分线,点e、f分别在ab、ad上,且ae=ac,ef∥bc。

求证:四边形cdef是菱形。
                                           
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三、矩形、菱形、正方形
函数综合

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题
2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

例1.如图,在平面直角坐标系中,菱形abcd的顶点c与原点o重合,点b在y轴的正半轴上,点a在y=(k>0,x>0)的图象上,点d的坐标为(4,3).

(1)求k的值;

(2)若将菱形abcd沿x轴正方向平移,当菱形的顶点d落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形abcd沿x轴正方向平移的距离。

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例2.如图,点b、c分别在两条直线y=2x和y=kx上,点a、d是x轴上两点,已知四边形abcd是正方形,则k值为______. 
        
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例3 已知点a、b分别是x轴、y轴上的动点,点c、d是某个函数图象上的点,当四边形abcd(a、b、c、d各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形abcd是y=x 1图象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x 1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为abcd,点d(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例。               
       
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四、矩形、正方形的


1.从翻折中找出对称轴,利用对称性找相等关系。
2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1 如图,矩形abcd中,e是ad的中点,将△abe沿直线be后得到△gbe,延长bg交cd于点f.若cf=1,fd=2,则bc的长是(   )

 a.3√6   b.2√6   

c.2√5   d.2√3

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例2 如图,在矩形abcd中,ab=5,bc=7,点e为bc上一动点,把△abe沿ae折叠,当点b的对应点b′落在∠adc的角平分线上时,则点b′到bc的距离为(  )

a.1或2  b. 2或3   

c.3或4   d. 4或5 
                        
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例3 如图,在边长为1的正方形abcd中,e为ad边上一点,连接be,将△abe沿be对折,a点恰好落在对角线bd上的点f处。延长af,与cd边交于点g,延长fe,与ba的延长线交于点h,则下列说法:①△bfh为;②△adf≌△fha; ③∠dfg=;④de=2-√2;⑤s△aef=s△dfg.其中正确的说法有( ) 

a.1个  b.2个  

c.3个 d.4个

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例4 四边形abcd是正方形,∠man=45°,它的两边am、an分别交cb、dc与点m、n,连接mn,作ah⊥mn,垂足为点h。

(1)如图1,猜想ah与ab有什么数量关系?并证明

(2)如图2,已知∠bac=45°,ad⊥bc于点d,且bd=2,cd=3,求ad的长。

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五、综合运用

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定,结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1 在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形abcd与边长为2的正方形aefg按图1位置放置,ad与ae在同一直线上,ab与ag在同一直线上.

(1)小明发现dg⊥be,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形abcd绕点a逆时针,当点b恰好落在线段dg上时,请你帮他求出此时be的长.

(3)如图3,小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转,线段dg与线段be将相交,交点为h,写出△ghe与△bhd面积之和的,并简要说明理由。 

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例2 现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ade和△abc,其中∠acb和∠aed=90°,且ac=bc,ae=de,cf⊥ab于f,m为线段bd中点,连接cm,em.

(1)如图1,当a、b、d在同一条直线上时,若ac=1,ae=2,求fm的长度;

(2)如图1,当a、b、d在同一条直线上时,求证:cm=em;

(3)如图2,当a、b、d在同一条直线上时,请探究cm,em的数量关系和位置关系,请先给出结论,然后证明。

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