知识点1:集合的基本概念
1. 我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的整体叫做集合.
2. 集合三大特征:描述性,整体性,广泛性
3. 集合中元素的三大特征:确定性,互异性,无序性.
4. 若构成两个集合的元素一样,则两个集合相等.
5. 若a是a中的元素,则称a属于a,记作a∈a;若a不是a中的元素,则称a不属于a,记作a∉a.
6. 集合的两种表示方法:列举法,描述法。描述法可表示无限集,描述集合a中的元素x时,记作{x∈a|p(x)},其中p(x)表示x的共同特征.
7. 常见数集:自然数集n 正整数 n 或n* 整数 z 有理数集 q 实数集 r 复数集 c
知识点2:子集与空集
8. 对于两个集合a,b,若集合a中任意一个元素都是集合b中的元素,则称集合a为集合b的子集,读作a包含于b(或b包含a),记作a⊆b(或b⊇a).
9. 若a⊆b,且b⊆a,则a=b,集合a与集合b相等.
10. 若a⊆b,x∈b,且x∉a,则a为b真子集,读作a真包含于b(或b真包含a),记作a⫋b(或b⫌a).集合间关系问题可用venn图解决.
11. 不含任何元素的集合叫空集,记作∅,空集是任何集合的子集.
12. 包含的两大性质:自反性(a⊆ a),传递性(若a⊆b,且b⊆c,则a⊆c)
13. ∅,0,{0},{∅}的区别:∅是一个没有元素的集合,0是一个元素,{0}是一个只有0(元素)的集合,{∅}是一个只有空集(既是元素也是集合)的集合.
知识点3:并集、交集、补集与全集
15. 由所有属于a或属于b中的元素组成的集合称为a与b的并集,读作a并b,记作a∪b,即a∪b={x|x∈a或x∈b}.
16. 并集的性质:
①a∪b=b∪a;a⊆(a∪b),b⊆(a∪b);a∪a=a;a∪∅=a.
②若a∪b=b,则a⊆b;若a⊆b,则a∪b=b.
17. 由所有属于a且属于b中的元素组成的集合称为a与b的交集,读作a交b,记作a∩b,即a∩b={x|x∈a且x∈b}.
18. 交集的性质:
①a∩b=b∩a;(a∩b)⊆a,(a∩b)⊆b;a交a=a,a∩∅=∅.
②若a∩b=a,则a⊆b;若a⊆b,则a∩b=a.
19. 若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,则称其为全集,通常记作u.
22. 做题时出现a⊆b时一定要考虑a=∅的特殊情况.
知识点4:充分条件与必要条件
24. 命题:若p,则q.其中p称为题设(条件),q称为结论.此时我们称由p可推出q,记作p⇒q.命题分为真命题与假命题. ¬是非的意思.
25. 四种命题:原命题(p⇒q)、逆命题(q⇒p)、否命题(¬p⇒¬q),逆否命题(¬q⇒¬p ),其中真命题的个数只能为0、2或4个.
26. 若p⇒q为真命题,我们称p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒q为假命题,我们称p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
27. 若既有p⇒q ,又有q⇒p ,则记作p⇔q,此时称p为q的充分必要条件,简称充要条件.显然,q也是p的充要条件.
28. 充分条件与必要条件的判定:
⑴ 定义法
① 若p⇒q且q ⇏p,则p是q的充分不必要条件;
② 若q⇒p且p ⇏q,则p是q的必要不充分条件;
③ 若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件;
④ 若p ⇏q且q ⇏p,则p是q的不充分不必要条件.
⑵ 集合法:设满足p的元素构成a,满足q的元素构成b
① 若a⊆b,则p是q的充分条件;
② 若a⊇b,则p是q的必要条件;
③ 若a=b,则p是q的充要条件;
④ 若a⫋b,则p是q的充分不必要条件;
⑤ 若a⫌b,则p是q的必要不充分条件;
⑥ 若a⊄b,且b不包含于a,则p是q的不充分不必要条件.
知识点5:全称量词与存在量词
33.常见词语的否定:
等于 |不等于
大于 |不大于
小于 |不小于
是 |不是
都是 |不都是
任意的 |某个
所有的 |某些
之多有一个|至少有两个
至少有一个|一个也没有
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