初中数学：图形折叠问题
题型一：折叠求长度问题
例题1：动手操作：如图，在矩形纸片abcd中，ab=3，ad=5．如图所示折叠纸片，使点a落在bc边上的a′处，折痕为pq，当点a′在bc边上移动时，折痕的端点p、q也随之移动．若限定点p、q分别在ab、ad边上移动．求：（1）当点q与点d重合时，a′c的长是多少？（2）点a′在bc边上可移动的最大距离是多少？
分析：（1）画出图形，根据折叠的性质得出a1'd=ad=5，在rt△a1dc中利用勾股定理即可得出答案．（2）找出两个极值点的位置，然后即可判断点a'的移动范围，继而可得出答案．
本题考查了动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，单凭想象会造成错误。
例题2：如图，折叠长方形一边ad，点d落在bc边上的点f处．已知bc＝10cm，ab＝8cm，（1）ec的长；（2）ae的长．
分析：首先根据勾股定理求出bf的长，借助翻转变换的性质及勾股定理求出de的长即可解决问题。
该命题考查了翻转变换及其应用问题；解题的关键是借助翻转变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析与判断、推理或解答。
02题型二：折叠求面积问题
例题3：已知，如图，长方形abcd中，ab=3cm,ad=9cm,将此长方形折叠，使点b与点d重合，折痕为ef，则△abe的面积为（ ）
分析：根据折叠的条件可得：be=de，在直角△abe中，利用勾股定理就可以求解．
此题考查了折叠的性质以及勾股定理，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键。
例题4：如图所示，在△abc中，ab=20，ac=12，bc=16，把△abc折叠，使ab落在直线ac上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
分析：利用勾股定理求出cd=6，所以阴影部分面积为1/2×cd×ac，求出即可．
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出bd=b′d=16-x，b′c=8是解题关键。
03题型三：方程思想
例题5：在△abc中，∠c=90°，ac=6，bc=8，d、e分别是斜边ab和直角边cb上的点，把△abc沿着直线de折叠，顶点b的对应点是b′．（1）如图（1），如果点b′和顶点a重合，求ce的长；（2）如图（2），如果点b′和落在ac的中点上，求ce的长．
分析：（1）如图（1），设ce=x,则be=8-x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．（2）如图（2），首先求出cb′=3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答。
04题型四：旋转问题
例题4：如图，点o是等边△abc内一点，将co绕点c顺时针旋转60°得到cd，连接od，ao，bo，ad．（1）求证：△bco≌△acd．（2）若oa=10，ob=8，oc=6，求∠boc的度数．
分析：（1）根据sas证明三角形全等即可．（2）证明△odc是等边三角形，∠ado=90°，推出∠adc=150°，再利用全等三角形的性质，可得结论．
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠adc=90°。
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