初中数学几何模型:对角互补模型详解 -足球竞猜
初中数学几何模型:对角互补模型详解
对角互补的四边形(共圆四边形)模型判断:对角之和等于180°的四边形.注意:对角互补的四边形共圆,可通过、作垂线构造全等、相似三角形;作四边形的外接圆,借助隐形圆提高解题效率。
分类:按边分为邻边不等(构造相似)和邻边相等(构造全等,本节主要研究邻边相等);按角分为一般和特殊角度(、90°、120°)。
一、邻边相等基本模型
1.一组邻边相等 对角互补=角平分线
已知:∠b ∠d=180°,ab=ad.结论:ca平分∠bcd,be cd=ec.
方法一:
方法一:借助对角互补的四边形共圆,很快可得出结论.
方法二:如图
作ae⊥bc于点e,af⊥cd的延长线于点f.
∵∠b ∠adc=180°, ∠adc ∠adf=180°,∴∠b=∠adf.在△abe和△adf中,∠b=∠adf,∠aeb=∠afd=90°,ab=ad,
∴△abe≅△adf.(aas)
∴ae=af,
∴ca平分∠bcd.
逆命题:成立(知二求一)
(1)对角互补(共圆) 邻边相等的四边形角平分线
(2)对角互补(共圆) 角平分线的四边形邻边相等
(3)角平分线 邻边相等的四边形对角互补(共圆)
二、一组邻边相等 一对直角
总结:遇到此模型,常常联想到构造或正方形.
三、一组邻边相等 一对角分别为60°、120°
已知:∠bad=60°,∠bcd=120°,ab=ad.
结论1:ca平分∠bcd.
证明:(常规方法)
方法1:如图②利用隐形圆(等弧所对的相等);
方法2:过a点作cb、cd的垂线,在内外部构造直角三角形,证明全等.
已知:∠bad=60°,∠bcd=120°,ab=ad.
结论2:bc cd=ac(△ace、△acf为等边三角形).
常规方法:利用旋转构造全等三角形.需注意:虽然是旋转得到全等,旋转仅仅是直观演示过程.推理过程辅助线应写延长cd到e,使得de=bc,连接ae.特殊方法:此模型为特殊结构含60°,也可以联想链接:等边三角形旋转型全等.
构造等边△dae、等边△dbc,利用手拉手旋转型全等.可得:ad ab=ac.
构造等边△baf、等边△bdc,利用手拉手旋转型全等.可得:ad ab=ac.
总结:等边三角形手拉手旋转过程中,若a、c、e三点在同一直线时,则四边形abcd为本节模型(一组邻边相等 一对角分别为60°、120°.)
四、邻边不等基本模型(构造相似)
已知:∠b ∠d=180°.
结论:△dae∼△dcf.
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