初中数学几何模型：对角互补模型详解 -足球竞猜

初中数学几何模型：对角互补模型详解

对角互补的四边形（共圆四边形）模型判断：对角之和等于180°的四边形.注意：对角互补的四边形共圆，可通过、作垂线构造全等、相似三角形；作四边形的外接圆，借助隐形圆提高解题效率。

分类：按边分为邻边不等（构造相似）和邻边相等（构造全等，本节主要研究邻边相等）；按角分为一般和特殊角度（、90°、120°）。

一、邻边相等基本模型

1.一组邻边相等 对角互补=角平分线
已知：∠b ∠d=180°,ab=ad.结论：ca平分∠bcd,be cd=ec.

方法一：

方法一：借助对角互补的四边形共圆，很快可得出结论.

方法二：如图

作ae⊥bc于点e,af⊥cd的延长线于点f.

∵∠b ∠adc=180°， ∠adc ∠adf=180°，∴∠b=∠adf.在△abe和△adf中，∠b=∠adf，∠aeb=∠afd=90°,ab=ad,

∴△abe≅△adf.(aas)

∴ae=af,

∴ca平分∠bcd.

逆命题：成立（知二求一）

(1)对角互补（共圆） 邻边相等的四边形角平分线

(2)对角互补（共圆） 角平分线的四边形邻边相等

(3)角平分线 邻边相等的四边形对角互补（共圆）

二、一组邻边相等 一对直角

总结：遇到此模型，常常联想到构造或正方形.

三、一组邻边相等 一对角分别为60°、120°

已知：∠bad=60°，∠bcd=120°,ab=ad.

结论1：ca平分∠bcd.

证明：（常规方法）

方法1：如图②利用隐形圆（等弧所对的相等）；

方法2：过a点作cb、cd的垂线，在内外部构造直角三角形，证明全等.

已知：∠bad=60°，∠bcd=120°,ab=ad.

结论2：bc cd=ac(△ace、△acf为等边三角形).

常规方法：利用旋转构造全等三角形.需注意：虽然是旋转得到全等，旋转仅仅是直观演示过程.推理过程辅助线应写延长cd到e,使得de=bc，连接ae.特殊方法：此模型为特殊结构含60°，也可以联想链接：等边三角形旋转型全等.

构造等边△dae、等边△dbc，利用手拉手旋转型全等.可得：ad ab=ac.

构造等边△baf、等边△bdc，利用手拉手旋转型全等.可得：ad ab=ac.

总结：等边三角形手拉手旋转过程中，若a、c、e三点在同一直线时，则四边形abcd为本节模型（一组邻边相等 一对角分别为60°、120°.）

四、邻边不等基本模型（构造相似）

已知：∠b ∠d=180°.

结论：△dae∼△dcf.

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