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英才学习1年前 (2022-10-02)初中常见模型284

初中几何模型-阿氏圆数学模型(一)

初中几何模型-阿氏圆数学模型(二)

一、定义

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”。

在“胡不归”问题中,我们见识了“kpa pb”最值问题,其中p点轨迹是直线,而当p点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题。


如下图,已知a、b两点,点p满足pa:pb=k(k≠1),则满足条件的所有的点p的轨迹构成的图形为圆。

阿氏圆.jpg

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。


二、特点及性质

(一)特点

1.阿氏圆圆心与ab共线

2.到哪个点近,阿圆圆心就在哪一侧,

3.圆心绝不会在线段ab内

(二)性质

性质1:阿氏圆与直线 ab 的两个交点按定比a 内分 ab 和外分 ab。

性质2:若 p 为阿氏圆上任一点,阿氏圆与直线 ab 交于m、n,则 pn,pm 分别是∠apb 内外角的平分线。

阿氏圆2.jpg

性质3:非等腰三角形δabc 三边上的三个阿氏圆的圆心 oa、ob、oc三点共线。

性质4:

1684114054115.png

四个性质及应用具体如下图。

三、案例分析

1.如图 1 所示,⊙o 的半径为r,点 a、b 都在⊙o 外 ,p为⊙o上一动点,已知r=ob,连接 pa、pb,则当“pa kpb”的值最小时,p 点的位置如何确定?

1664810096905.png

1664810124619.png



解决办法:如图2,在线段 ob 上截取oc使 oc=r,则可说明△bpo与△pco相似,则有pb=pc。故本题求“pa kpb”的最小值可以转化为“pa pc”的最小值,其中与a与c为定点,p为动点,故当 a、p、c 三点共线时,“pa pc”值最小。


【技巧总结】

计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题:在圆上找一点p使得的值最小,解决步骤具体如下:

1. 如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即op,ob

2. 计算出这两条线段的长度比

3. 在ob上取一点c,使得,即构造△pom∽△bop,则,

4. 则,当a、p、c三点共线时可得最小值


2. 如图,在rt△abc中,∠c=90°,ac=4,bc=3,以点c为圆心,2为半径作圆c,分别交ac、bc于d、e两点,点p是圆c上一个动点,则的最小值为__________.

1664810157304.png


四、练习题

变式练习:如图1,在rt△abc中,∠acb=90°,cb=4,ca=6,圆c的半径为2,点p为圆上一动点,连接ap,bp,求①,②,③,④的最小值.

1664810248810.png


例题2. 如图,点c坐标为(2,5),点a的坐标为(7,0),⊙c的半径为,点b在⊙c上一动点,的最小值为________.


1664810178018.png

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