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英才学习2个月前 (11-04)初中数学102

初中数学:特殊角的三角函数值、如何求解、求解方法?


首先让我们了解下初中阶段了解的几个特殊角的三角函数值:

30°,45°,60°角的sin、cos、tan、cot三角函数值,具体如下图:(该图含有0°,90°,初中阶段不需要掌握)

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那么如果碰到像15°,22.5°,67.5°,18°,36°,72°,75°等特殊角的三角函数怎么求解计算,那么接下来我们针对该类问题一一进行讨论:

一.巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值

1.求sin15°,cos15°,tan15°的值.

【分析】我们已熟记30°角的三角函数值,因为15°角为30°角的1/2,则可利用含30°角的直角三角形构造出含15°角的直角三角形,从而求出15°角的三角函数值,如图,

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在rt△abc中,∠bac=30°,∠c=90°,延长ca到d,使ad=ab,连接bd则∠d=15°,设bc=a,则ab=2a,ac=√3a,∴ad=2a,cd=(2 √3)a,在rt△bcd中,由勾股定理得bd=√[a² (7 4√3)a²]=√2a×√(4 2√3)=√2a×√(√3 1)²=(√6 √2)a,∴sin15°=sind=bc/bd=a/(√6 √2)a=(√6一√2)/4,cos15°=cosd=cd/bd=(2 √3)a/(√6 √2)a=(√6 √2)/4,tan15°=tand=bc/cd=a/(2 √3)a=2一√3.


二.巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值

2.求tan22.5°的值.

【分析】与第1题类似,利用22.5°=45°/2,在含45°角的直角形的基础上构造22.5°角,如图

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在rt△abc中,∠c=90°,ac=bc,延长ca到d,使da=ab,连接bd,则∠d=22.5°,设ac=bc=a,则ab=√2a,ad=√2a,dc=(√2 1)a,∴tan22.5°=tand=bc/cd=a/(√2 1)a=√2一1.


三.巧用折叠法求67.5°角的三角函数值

3.将如图所示的矩形纸片abcd沿过点b的直线折叠,使点a落在bc边上的点e处,还原后,再沿过点e的直线折叠,使点a落在bc边上的点f处,求出67.5°角的正切值.

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【分析】依题分析知,ab=be,∴∠aeb=∠eab=45°,ae=ef,∴∠eaf=∠efa=22.5°,∴∠fab=67.5°,设ab=a,则be=a,ae=ef=√2a,∴tan67.5°=tan∠fab=fb/ab=(√2a a)/a=√2 1.


四.巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°,72°角的三角函数值

4.求sin18°,cos72°的值.

【分析】我们知顶角为36°的等腰三角形,有其特殊性,如图,

4.jpg

作△abc使∠bac=36°,ab=ac,∠abc的平分线bd交ac于d点,过点a作ae⊥bc于e点,则∠bae=∠cae=18°,∠abe=∠acb=∠bdc=72°,∠dbc=36°,设bc=a,则be=a/2,bd=ad=a,易知△abc∽△bcd,∴ab/bc=bc/cd,∴ab/a=a/(ab一a),即ab²一ab×a一a²=0,∴ab=a(√5 1)/2(负根舍去).∴sin18°=sin∠bae=be/ab=(√5一1)/4.cos72°=cos∠abe=be/ab=(√5一1)/4.


五.巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值

5.求sin75°,cos75°,tan75°的值.

【分析】作△abd,使∠adb=90°,∠dab=30°,延长bd到c,使dc=da,连接ac,过点b作be⊥ac于e,则∠bae=75°,如图,

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设ad=dc=a,则ac=√2a,bd=√3a/3,ab=2√3a/3,∴bc=bd cd=(√3/3 1)a,∴ce=be=bcsin45°=(√6 3√2)a/6,∴ae=ac一ce=(3√2一√6)a/6,∴sin75°=sin∠bae=ae/ab=(3√2十√6)a/6÷2√3a/3=(√6 √2)/4.cos75°=cos∠bae=ae/ab=(√6一√2)/4,tan75°=tan∠bae=be/ae=2 √3.





方法点评:此法主要利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,得到等腰三角形和特殊角,通过线段之间的数量关系得到正切值;





方法点评:直角利用角平分线的性质得到半角,由线段之间的数量关系得到正切值; 



方法点评:此法最为特殊,用到了三角形全等,仍然是利用特殊角得到线段之间的数量关系;


方法点评:此法在求半角正切值时比较通用,且易操作,如下例子作为参考; 




有同学问题36°余弦,18°的正弦值如何来求呢?



特殊函数值

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