初中数学：特殊角的三角函数值、如何求解、求解方法？ -足球竞猜

初中数学：特殊角的三角函数值、如何求解、求解方法？

首先让我们了解下初中阶段了解的几个特殊角的三角函数值：

30°，45°，60°角的sin、cos、tan、cot三角函数值，具体如下图：（该图含有0°，90°，初中阶段不需要掌握）

那么如果碰到像15°，22.5°，67.5°，18°，36°，72°，75°等特殊角的三角函数怎么求解计算，那么接下来我们针对该类问题一一进行讨论：

一.巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值

1.求sin15°，cos15°，tan15°的值.

【分析】我们已熟记30°角的三角函数值，因为15°角为30°角的1/2，则可利用含30°角的直角三角形构造出含15°角的直角三角形，从而求出15°角的三角函数值，如图，

在rt△abc中，∠bac=30°，∠c=90°，延长ca到d，使ad=ab，连接bd则∠d=15°，设bc=a，则ab=2a，ac=√3a，∴ad=2a，cd=(2 √3)a，在rt△bcd中，由勾股定理得bd=√[a² (7 4√3)a²]=√2a×√(4 2√3)=√2a×√(√3 1)²=(√6 √2)a，∴sin15°=sind=bc/bd=a/(√6 √2)a=(√6一√2)/4，cos15°=cosd=cd/bd=(2 √3)a/(√6 √2)a=(√6 √2)/4，tan15°=tand=bc/cd=a/(2 √3)a=2一√3.

二.巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值

2.求tan22.5°的值.

【分析】与第1题类似，利用22.5°=45°/2，在含45°角的直角形的基础上构造22.5°角，如图

在rt△abc中，∠c=90°，ac=bc，延长ca到d，使da=ab，连接bd，则∠d=22.5°，设ac=bc=a，则ab=√2a，ad=√2a，dc=(√2 1)a，∴tan22.5°=tand=bc/cd=a/(√2 1)a=√2一1.

三.巧用折叠法求67.5°角的三角函数值

3.将如图所示的矩形纸片abcd沿过点b的直线折叠，使点a落在bc边上的点e处，还原后，再沿过点e的直线折叠，使点a落在bc边上的点f处，求出67.5°角的正切值.

【分析】依题分析知，ab=be，∴∠aeb=∠eab=45°，ae=ef，∴∠eaf=∠efa=22.5°，∴∠fab=67.5°，设ab=a，则be=a，ae=ef=√2a，∴tan67.5°=tan∠fab=fb/ab=(√2a a)/a=√2 1.

四.巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°，72°角的三角函数值

4.求sin18°，cos72°的值.

【分析】我们知顶角为36°的等腰三角形，有其特殊性，如图，

作△abc使∠bac=36°，ab=ac，∠abc的平分线bd交ac于d点，过点a作ae⊥bc于e点，则∠bae=∠cae=18°，∠abe=∠acb=∠bdc=72°，∠dbc=36°，设bc=a，则be=a/2，bd=ad=a，易知△abc∽△bcd，∴ab/bc=bc/cd，∴ab/a=a/(ab一a)，即ab²一ab×a一a²=0，∴ab=a(√5 1)/2(负根舍去).∴sin18°=sin∠bae=be/ab=(√5一1)/4.cos72°=cos∠abe=be/ab=(√5一1)/4.

五.巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值

5.求sin75°，cos75°，tan75°的值.

【分析】作△abd，使∠adb=90°，∠dab=30°，延长bd到c，使dc=da，连接ac，过点b作be⊥ac于e，则∠bae=75°，如图，

设ad=dc=a，则ac=√2a，bd=√3a/3，ab=2√3a/3，∴bc=bd cd=(√3/3 1)a，∴ce=be=bcsin45°=(√6 3√2)a/6，∴ae=ac一ce=(3√2一√6)a/6，∴sin75°=sin∠bae=ae/ab=(3√2十√6)a/6÷2√3a/3=(√6 √2)/4.cos75°=cos∠bae=ae/ab=(√6一√2)/4，tan75°=tan∠bae=be/ae=2 √3.

方法点评：此法主要利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，得到等腰三角形和特殊角，通过线段之间的数量关系得到正切值；

方法点评：直角利用角平分线的性质得到半角，由线段之间的数量关系得到正切值； 

方法点评：此法最为特殊，用到了三角形全等，仍然是利用特殊角得到线段之间的数量关系；

方法点评：此法在求半角正切值时比较通用，且易操作，如下例子作为参考； 

有同学问题36°余弦，18°的正弦值如何来求呢？

特殊函数值