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二次函数 铅垂法求面积 -足球竞猜

英才学习2周前 (09-16)初中数学45

二次函数 铅垂法求面积

在平面直角坐标系中,已知a(1,1)、b(7,3)、c(4,7),求△abc的面积.


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【分析】显然对于这样一个位置的三角形,面积公式并不太好用,割补倒是可以一试,比如这样:


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构造矩形adef,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△abc面积.这是在“补”,

同样可以采用“割”:


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此处ae af即为a、b两点之间的水平距离.
由题意得:ae bf=6.下求cd:
根据a、b两点坐标求得直线ab解析式为:

1694849016018.png

由点c坐标(4,7)可得d点横坐标为4,
将4代入直线ab解析式得d点纵坐标为2,故d点坐标为(4,2),cd=5,
综上,s=0.5×6×5=15.


铅垂法方法总结

作以下定义:(1)水平宽:a、b两点之间的水平距离;(2)铅垂高:过点c作x轴的垂线与ab交点为d,线段cd即为ab边的“铅垂高”.

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如图可得:

1694849096609.png

【解题步骤】(1)求a、b两点水平距离,即水平宽;(2)过点c作x轴垂线与ab交于点d,可得点d横坐标同点c;(3)求直线ab解析式并代入点d横坐标,得点d纵坐标;(4)根据c、d坐标求得铅垂高;(5)利用公式求得三角形面积.

真题演练

2019海南中考(删减)

如图,已知抛物线y=ax² bx 5经过a(-5,0)、b(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为c.(1)求该抛物线的表达式;(2)点p为该抛物线上一动点(与点b、c不重合),设点p的横坐标为t.当点p在直线bc的下方运动时,求△pbc的面积的最大值.

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【分析】(1)y=x² 6x 5;(2)取bc两点之间的水平距离为水平宽,过点p作pq⊥x轴交直线bc于点q,则pq即为铅垂高.

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根据a、c两点坐标得ac=4,根据b、c两点坐标得直线bc解析式:y=x 1,设p点坐标为(m,m² 6m 5),则点q(m,m 1),得pq=-m²-5m-4,考虑到水平宽是定值,故铅垂高最大面积就最大.
【小结】选两个定点作水平宽,设另外一个动点坐标来表示铅垂高.


【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间,如何求面积?


铅垂法大全

铅垂法其实就是在割补,重点不在三个点位置,而是取两个点作水平宽之后,能求出其对应的铅垂高!因此,动点若不在两定点之间,方法类似:

(1)取ab作水平宽,过点c作铅垂高cd.

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(2)取ac作水平宽,过点b作bd⊥x轴交直线ac于点d,bd即对应的铅垂高,

1694849365056.png

8.jpg


(3)取bc作水平宽,过点a作铅垂高ad.

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甚至,还可以横竖互换,在竖直方向作水平宽,在水平方向作铅垂高.
(4)取bc作水平宽,过点a作铅垂高ad.

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(5)取ac作水平宽,过点b作铅垂高bd.

12.jpg

(6)取ab作水平宽,过点c作铅垂高cd.


13.jpg


总结如下:

对坐标系中已知三点a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3),
按铅垂法思路,可得:

11.jpg

如果为了好看,也可以这么写:

2.jpg

可以查看三阶行列式:https://yc8.com.cn/wenzhang/202309/3179.html


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