二次函数 铅垂法求面积 -足球竞猜

二次函数 铅垂法求面积

在平面直角坐标系中，已知a(1,1)、b(7,3)、c(4,7)，求△abc的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形adef，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△abc面积．这是在“补”，

同样可以采用“割”：

此处ae af即为a、b两点之间的水平距离．
由题意得：ae bf=6．下求cd：
根据a、b两点坐标求得直线ab解析式为：

由点c坐标（4,7）可得d点横坐标为4，
将4代入直线ab解析式得d点纵坐标为2，故d点坐标为（4,2），cd=5,
综上，s=0.5×6×5=15．

铅垂法方法总结

作以下定义：（1）水平宽：a、b两点之间的水平距离；（2）铅垂高：过点c作x轴的垂线与ab交点为d，线段cd即为ab边的“铅垂高”．

如图可得：

【解题步骤】（1）求a、b两点水平距离，即水平宽；（2）过点c作x轴垂线与ab交于点d，可得点d横坐标同点c；（3）求直线ab解析式并代入点d横坐标，得点d纵坐标；（4）根据c、d坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．

真题演练

2019海南中考（删减）

如图，已知抛物线y=ax² bx 5经过a(-5,0)、b(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为c．（1）求该抛物线的表达式；（2）点p为该抛物线上一动点（与点b、c不重合），设点p的横坐标为t．当点p在直线bc的下方运动时，求△pbc的面积的最大值．

【分析】（1）y=x² 6x 5；（2）取bc两点之间的水平距离为水平宽，过点p作pq⊥x轴交直线bc于点q，则pq即为铅垂高．

根据a、c两点坐标得ac=4，根据b、c两点坐标得直线bc解析式：y=x 1，设p点坐标为（m，m² 6m 5），则点q（m，m 1），得pq=-m²-5m-4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？


铅垂法大全

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：

（1）取ab作水平宽，过点c作铅垂高cd．

（2）取ac作水平宽，过点b作bd⊥x轴交直线ac于点d，bd即对应的铅垂高，

（3）取bc作水平宽，过点a作铅垂高ad．

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取bc作水平宽，过点a作铅垂高ad．

（5）取ac作水平宽，过点b作铅垂高bd．

（6）取ab作水平宽，过点c作铅垂高cd．

总结如下：

对坐标系中已知三点a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3)，
按铅垂法思路，可得：

如果为了好看，也可以这么写：

可以查看三阶行列式：https://yc8.com.cn/wenzhang/202309/3179.html